Martin Lehmann

Aus mathematischer Hinsicht ist Origami interessant, da man eine Vielzahl an Abständen und Winkeln durch Falten konstruieren kann. Wie bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal kann man beliebige rationale Zahlen und Quadratwurzel konstruieren. Darüber hinaus kann man die dritte Wurzel konstruieren. Damit kann man auch beliebige Winkel dreiteilen, was im Origami sehr nützlich ist. Wie man einen Winkel dreiteilt, kann man hier nachlesen. Einen tieferen mathematischen Einblick kann man in dieser Bachelorarbeit erhalten.

Ich gebe hier eine Möglichkeit an die Seiten eines Quadrates mit Hilfe von Faltungen in beliebig viele Teile aufzuteilen, da ich dies für einige meiner Modelle brauche. Dazu setzen wir die Kantenlänge des Quadrates auf $1$. Angenommen die linke Kante ist bereits in $n$ gleich große Teile aufgeteilt. Wähle einen Punkt $B$ auf der linken Kante, der $m$ Segmente über dem Eckpunkt $C$ in der Skizze liegt. Man kann die Diagonale, die vom Punkt $C$ ausgeht, konstruieren, indem man den Punkt $A$ auf die gegenüber liegende Ecke des Quadrates faltet. Die dadurch entstandenen Dreiecke $ABC$ und $ADE$ sind zueinander ähnlich. Mit $x=DE$ und $y=AE$ gilt demnach $\frac{m}{n}=\frac{x}{y}$, was, wegen $y=1-x$, äquivalent zu $x=\frac{m}{m+n}$ ist. Für $m=1$ erhält man $x=\frac{1}{n+1}$. D.h. wenn eine Kante in $n$ gleich große Teile teilbar ist, ist sie auch in $n+1$ gleich große Teile teilbar. Da eine Teilung der Strecke in $n=1$ Teile trivialerweise möglich ist, kann man auf diese Weise alle rationalen Zahlen im Intervall $[0,1]$ konstruieren. In der Praxis ist dies aber eine meist ineffiziente Methode der Streckenteilung. Zweierpotenzen lassen sich z. B. durch wiederholte Halbierung der Strecke am leichtesten konstruieren. Eine Teilung durch $7$ lässt sich beispielsweise konstruieren, indem man $m=3$ und $n=4$ setzt. Das heißt man muss die Strecke nur zweimal halbieren und dann die beschriebene Methode anwenden und erhält $x=\frac{3}{7}$ und $y=\frac{4}{7}$. Durch Halbierungen kann man nun die übrigen Segmente konstruieren. In manchen Fällen lässt sich jedoch die wiederholte Anwendung dieser Methode nicht vermeiden.

Inspiriert von Yo Nakashimas Würfel habe ich einen Quader und ein komplettes Set für einen Soma-Würfel, dessen Einzelteile jeweils aus einem Papierstreifen bestehen, designt.

In der Skizze links sind die Hilfsfalten zu sehen, die man benötigt, um einen Quader mit den Abmessungen $1\times x\times y$ zu falten. Der Faltvorgang ist mit dem von Yo Nakashimas Würfel identisch. Wählt man $x=y=1$ erhält man genau Yo Nakashimas Würfel. Rechts ist ein von mir gefalteter Quader mit $x=2$ und $y=3$ zu sehen. Man kann mit der Vorlage links beliebige Quader mit und falten. Möchte man ein quadratisches Blatt Papier benutzen, muss zusätzlich die Bedingung $y=3x-4$ erfüllt sein, wie man leicht aus der Skizze herleiten kann. Die Anleitungen für die Teile des Somawürfels werde ich nach und nach hochladen.

Im Internet finden sich viele Anleitungen für Origamipolyeder, die modular aus Kanten aufgebaut sind. Dabei ist jede Kante nach der gleichen Anleitung aus einem quadratischen Blatt Papier gefaltet. Ich habe jedoch bisher keine Anleitung für ein Kantenmodul gefunden, das für beliebige Winkel funktioniert. Dies schränkt die Möglichkeiten einen Polyeder zu bauen erheblich ein. Daher habe ich ein Kantenmodul designt, das für beliebige Winkel funktioniert. Aus Einkaufszetteln habe ich mir einige davon gefaltet und damit diese Polyeder gebaut. Eine Anleitung zu dem Kantenmodul findest du hier oder als Videoanleitung auf youtube.